Morfologia Matemática & Limiarização de Otsu (Morphology.cs)

A Morfologia Matemática é uma ferramenta para analisar e transformar formas geométricas em imagens, baseada na Teoria dos Conjuntos.

O arquivo Morphology.cs contém todas as operações morfológicas.

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1. O Elemento Estruturante (Structuring Element)

O elemento estruturante $B$ é uma pequena forma de teste (como um quadrado $3 \times 3$, uma cruz ou um disco) que desliza sobre a imagem.

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2. Operações Básicas: Erosão e Dilatação

1. Erosão ($A \ominus B$)

Encolhe as formas brancas e aumenta as regiões pretas.

• Em Escala de Cinza: Escolhe o menor valor ($\min$) sob a máscara:

$$(f \ominus B)(x, y) = \min_{(i, j) \in B} f(x + i, \; y + j)$$

2. Dilatação ($A \oplus B$)

Engrossa as formas brancas e preenche pequenas falhas pretas.

• Em Escala de Cinza: Escolhe o maior valor ($\max$) sob a máscara:

$$(f \oplus B)(x, y) = \max_{(i, j) \in B} f(x - i, \; y - j)$$

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3. Abertura e Fechamento

1. Abertura ($A \circ B = (A \ominus B) \oplus B$)

Uma Erosão seguida por uma Dilatação. Remove pontinhos brancos indesejados sem mudar o tamanho geral dos objetos grandes.

2. Fechamento ($A \bullet B = (A \oplus B) \ominus B$)

Uma Dilatação seguida por uma Erosão. Fecha furinhos pretos dentro dos objetos e conecta partes quebradas.

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4. Limiarização Automática de Otsu (Binarização Preto e Branco)

O algoritmo de Otsu descobre sozinho o número de corte $T^*$ ideal para transformar uma imagem em escala de cinza em preto e branco perfeito.

Ele calcula o ponto que maximiza a separação estatística entre o fundo e os objetos (variância interclasses $\sigma_B^2$):

$$\sigma_B^2(t) = \omega_0(t) \cdot \omega_1(t) \cdot \left[ \mu_0(t) - \mu_1(t) \right]^2$$

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